简单计算一下即可，答案如图所示
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一. 单项选择题（本大题共4小题，每小题2分，总计 8 分 ）
1、设表示排列的逆序数，则=( )
(A) 0, (B) 2, (C) －2, (D) 1
2、设是5阶的可逆方阵，是的伴随矩阵，则有( )
(A) (B) (C) (D)
3、设 则( ).
(A) 1, (B) －1, (C) 7, (D) －7
4、设，， 则向量组( )。
(A) 其秩为, (B) 线性无关, (C) 其秩为, (D) 其秩为
5、设，是给单位矩阵第2行（列）乘以3所得的3阶初等方阵,则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
6、设矩阵，，则向量的长度等于
(A) 3, (B) , (C) 14, (D)
7、设是由向量，，生成的向量空间，则的维数等于( )
(A) 3, (B) 4, (C) 1, (D) 2
8、已知向量组U线性相关，则在这个向量组中( )
(A) 必有一个零向量。 (B) 至少有一个向量可经由其余向量线性表出。
(C). 必有两个向量成比例。 (D) 所有向量都可以经由其余向量线性表出.
二. 填空（本大题共 2 小题，每小题5分，总计 10 分 ）
1、设向量组线性无关，而都能由向量组线性表出，则向量组的秩为______。
2、已知向量,,,若用的线性组合来表示, 即, 则分别为：______、______、______。
3、设,,, 如果向量组与向量组等价，则向量组的秩等于________。
4、设矩阵,,,, 则的秩等于_________。
三. 解答下列各题 （本大题 10 分 ）
设，求
四. 解答下列各题 （本大题 12 分 ）
1、 计算行列式 的值。
2、计算行列式 的值。
五. 解答下列各题 （本大题 10 分 ）
1、设, 求.
2、解线性代数方程组。
。
3、解矩阵方程
4、 ;
5、 .
解 （1）
故逆矩阵为
(2)
故逆矩阵为
六. 解答下列各题 （本大题 10 分 ）
1、设，求的秩。
2、设,,，求向量组的秩。
3、利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1) ; (2) .
解 (1)
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2)
，
所以第1、2、3列构成一个最大无关组．
4．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
(1) ,,;
(2) ,,.
解 (1) 线性相关.
由
秩为2,一组最大线性无关组为.
(2)
秩为2,最大线性无关组为.
七. 求线性代数方程组的通解 （本大题 16 分 ）
1、
2、
3、
4、
解：(1) 对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为
(2) 对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为
(3) 对系数矩阵实施行变换:
即得
(4) 对系数矩阵实施行变换:
即得 故方程组的解为
5、
6、
7、
8、
解：(1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有
而,故方程组无解．
(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得亦即
(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得 即
(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得 即
9、取何值时,非齐次线性方程组
(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?
解 (1) ,即时方程组有唯一解.
(2)
由
得时,方程组无解.
(3) ,由,
得时,方程组有无穷多个解.
10．非齐次线性方程组
当取何值时有解？并求出它的解．
解
方程组有解，须得
当时,方程组解为
当时,方程组解为
11．设
问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解
时求解．
解
当,即 且时，有唯一解.
当且，即时，无解.
当且，即时，有无穷多解.
此时，增广矩阵为
原方程组的解为 ()
八. 解答下列各题 （本大题 12 分 ）
1、求下列矩阵的特征值及其特征向量
解：①
故的特征值为．
② 当时，解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量.
当时,解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量
当时，解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量．
2、求下列矩阵的特征值及其特征向量
解：
故得特征值为．
当时，由
解得
单位特征向量可取:
当时,由
解得
单位特征向量可取:
当时,由
解得．
单位特征向量可取:
得正交阵
九．（本大题 10 分 ）设3阶对称矩阵的特征值为6，3，3，且已知与特征值6对应的特征向量为,求.
解 设
由，知 ①
3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，
故利用①可推出
秩为1.
则存在实的使得②成立．
由①②解得．
得．
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答案：
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线性代数B试卷标准答案
试卷号：0602A
学校：湖南科技大学 院系：
专业： 年级： 班级：
一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）
CCB
二. 填空（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10 分 ）
1、1
2、0, -1
三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
8
四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
Dn=2Dn-1-Dn-2 4
Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=¼=D2-D1=3-2=1 2
Dn=Dn-1+1=¼=D1+n-1=2+n-1=n+1 2
五. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
令 5
B16=E, C16=E. 10
16
六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
因为 , 10
故a1, a2, a3线性无关， 13
该向量组的秩为 3. 16
七. 解答下列各题 （本大题16 分 ）
10
16
八. 解答下列各题 （本大题 17 分 ）
因A~B, 故A的特征值为l1=1, l2=l3=3. 5
|A-lE|=(3-l)2(1-l)+2ab+(l-2)(a2+b2)
当l1=1时, 2ab-(a2+b2)=(a-b)2=0 , 故a=b ¼(1) 10
当l2=l3=3 时, 2ab+(a2+b2)=(a+b)2=0,故a=-b ¼(2) 15
由 (1),(2) 得a=b=0 17
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线性代数B试卷标准答案
试卷号：0602B
学校：湖南科技大学 院系：
专业： 年级： 班级：
一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）
ACC
二. 填空（本大题共 3 小题，每小题 4分，总计 12 分 ）
1、2n-1(a+b)
2、 .
3、a1+a2+a3+a4=0
三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
4
8
四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
4
8
五. 解答下列各题 （本大题 15 分 ）
因, 故, 线 性 无 关 , 10
向量组本身是其极大线性无关组. 15
六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
10
16
七. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
|A|=12¹0, 所以A可逆. 6
16
八. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
A的三个特征值为-1, 2, y. 4
则-1+2+y=-2+x+1得y=x-2. 8
又由 12
得y=-2 ,所以x=0. 16
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线性代数B试卷标准答案
试卷号：0602A
学校：湖南科技大学潇湘学院 院系：
专业： 年级： 班级：
一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）
CCB
二. 填空（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10 分 ）
1、1
2、0, -1
三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
8
=-8
四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
Dn=2Dn-1-Dn-2 4
Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=¼=D2-D1=3-2=1 2
Dn=Dn-1+1=¼=D1+n-1=2+n-1=n+1 2
五. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
令 5
B16=E, C16=E. 10
16
六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
因为 , 10
故a1, a2, a3线性无关， 13
该向量组的秩为 3. 16
七. 解答下列各题 （本大题16 分 ）
10
16
八. 解答下列各题 （本大题 17 分 ）
因A~B, 故A的特征值为l1=1, l2=l3=3. 5
|A-lE|=(3-l)2(1-l)+2ab+(l-2)(a2+b2)
当l1=1时, 2ab-(a2+b2)=(a-b)2=0 , 故a=b ¼(1) 10
当l2=l3=3 时, 2ab+(a2+b2)=(a+b)2=0,故a=-b ¼(2) 15
由 (1),(2) 得a=b=0 17
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线性代数B试卷标准答案
试卷号：0602B
学校：湖南科技大学潇湘学院 院系：
专业： 年级： 班级：
一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）
ACC
二. 填空（本大题共 3 小题，每小题 4分，总计 12 分 ）
1、2n-1(a+b)
2、 .
3、a1+a2+a3+a4=0
三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
4
8
四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）
4
8
五. 解答下列各题 （本大题 15 分 ）
因, 故, 线 性 无 关 , 10
向量组本身是其极大线性无关组. 15
六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
10
16
七. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
|A|=12¹0, 所以A可逆. 6
16
八. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）
A的三个特征值为-1, 2, y. 4
则-1+2+y=-2+x+1得y=x-2. 8
又由 12
得y=-2 ,所以x=0. 16
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第一步. 计算A的特征多项式f(x)=|xE-A|=(x-7)^2(x+2), 从而A的特征值为x_1=7,x_2=-2 第二步 求特征值的线性无关的特征向量 特征值7的特征向量满足(7E-A)X=0, 解方程组得到:X_1=(1,-2,0)^T,X_2=(0,-2,1)^T. 特征值6的特征向量满足(-2E-A)X=0, 解方程组得到:X_3=(2,1,2)^T. 第三步 将上面的特征向量做施密特正交化处理.相信你能明白. 主要问题就是特征值算错了! 望采纳!
I=I-B*B*B=(I-B)(I+B+B^2) 故 I-B 可逆，--> B-I 可逆，满秩矩阵 R(AB-A)=R[A(B-I)] =RA=2
A B C A B
第一个矩阵记为A，第二个矩阵记为B，两相似矩阵有相同特征值，所以2是A的特征值，所以|2E-A|=0，可以解出a=0。而a=0时，不论b取何值，都可以直接验证A相似于B，所以答案是(B)。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
【知识点】 若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn 【解答】 |A|=1×2×...×n= n！ 设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。 则 Aα = λα 那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α 所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n 【评注】 对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。 线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。
1. 我给个主要过程, 细节你写一下就明白了. 按顺序进行如下变换 (行列式的值不改变): 将第1列加到第2列上, 将第2列加到第3列上, ..., 将第n-1列加到第n列上. 变换后行列式是下三角的, 其值等于对角线元素的乘积, 即a[1]a[2]...a[n-1]·n (右下角的元素为n). 2. 由AB = 0, B的列向量都是线性方程组AX = 0的解. r(A) = n-1, 故AX = 0的解空间维数为n-r(A) = 1. 因此r(B) = B的列秩 ≤ 1, 而B不是零矩阵(这应该是条件之一), 故r(B) = 1.
答案：Ax=b
A是错误的，因为线性无关的充要条件是“若对于所有为零的s个数k1,k2,...,ks,使得k1a1+k2a2+...+ksas=0,则向量组a1,a2,...,as线性无关”因此A不对。 B只有a1、a2、a3...是线性相关的并不说明其是a1、a2、a3...的极大线性无关组。因此不正确。 C是正确的。书上应该有证明。 将选项一一带入即： A(a1+a2)=2b A(t+1/2a1+1/2a2)=b A(a1-a2)=0 A(t+a1+a2)=2b 答案便是B 必要非充分条件
解: 问题转化为线性方程组 (α1,α2,α3)X=β 解的存在性问题 系数行列式 |α1,α2,α3|= 1 1 -1 2 a+2 -b-2 0 -3a a+2b c2-c1,c3+c1 1 0 0 2 a -b 0 -3a a+2b = a(a+2b)-3ab = a(a-b). 所以当a≠0且a≠b时, 方程组有唯一解, 即β能由α1,α2,α3唯一线性表示. 当a=0时, 增广矩阵 (α1,α2,α3,β)= 1 1 -1 1 2 2 -b-2 3 0 0 2b -3 r2-2r1 1 1 -1 1 0 0 -b 1 0 0 2b -3 r3+2r2 1 1 -1 1 0 0 -b 1 0 0 0 -1 此时方程组无解, 即β不能由α1,α2,α3线性表示 当a=b≠0时, 增广矩阵 (α1,α2,α3,β)= 1 1 -1 1 2 a+2 -a-2 3 0 -3a 3a -3 r2-2r1 1 1 -1 1 0 a -a 1 0 -3a 3a -3 r3+3r2 1 1 -1 1 0 a -a 1 0 0 0 0 此时方程组有无穷多解, β能由α1,α2,α3线性表示,且表示不唯一
答案提示很清楚了 m*n矩阵A和B等价＝＞r(A)=r(B) 初等变换不变矩阵的秩（定理）证明书上应该有 r(A)=r(B) 则他们可以化为等价标准型a b 矩阵等价关系的传递性则 m*n矩阵A和B等价
解: 由已知, 二次型f的矩阵 A =
5 a
a 5
与 B =
7 0
0 b
相似.
而相似矩阵有相同的行列式和迹, ----!!!知识点!!!
所以
|A| = 25-a^2 = 7b = |B|
tr(A) = 5+5 = 7+b = tr(B)
解得: b=3, a=2 (因为a>0, 故舍弃a=-2)
所以A的特征值为 λ1=7, λ2=3.
A-7E=
-2 2
2 -2
-->
1 -1
0 0
得特征值 (1,1)', 单位化得 a1=(1/√2,1/√2)'.
A-3E=
2 2
2 2
-->
1 1
0 0
得特征值 (1,-1)', 单位化得 a2=(1/√2,-1/√2)'.
令P=(a1,a2)=
1/√2 1/√2
1/√2 -1/√2
则X=PY是正交变换, 使得 f = 7y1^2+3y2^2.
